Solucionario COMATEQ 2021

S1

Observe que si $n$ es un número chévere, entonces existen enteros $x$ e $y$ tales que \begin{align*} n&=(x-1)+x=2x-1, &\;\rightarrow \text{suma de dos números consecutivos,}\\ n&=(y-1)+y+(y+1)=3y. &\;\rightarrow \text{suma de tres números consecutivos.} \end{align*} De estas dos igualdades, podemos concluir que para que un número sea chévere, debe ser impar y múltiplo de 3. Por lo tanto, existen 4 números chéveres entre 2000 y 2021: 2001, 2007, 2013 y 2019.

S2

Sea \( r \) la medida del lado compartido por el hexágono y el cuadrado, tenemos que el área del cuadrado es \( B=r^2 \) y el área del hexágono es \( 6 \) veces el área de un triángulo equilátero de lado \( r\).

Usando el teorema de Pitagoras obtenemos que la altura de este triángulo es \( \dfrac{\sqrt{3}r}{2} \). Así el área de cada triángulo es \( \dfrac{\sqrt{3}r^2}{4} \)  y el área del hexágono es \( A=\dfrac{3\sqrt{3}r^2}{2} \). Concluimos que \( \dfrac{A}{B} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \).

S3

Sea $C$ el numero de compradores y $d$ el descuento. Se tiene:

$$(120-d)\frac{3}{2}C=120\frac{5}{4}C$$

de donde se obtiene que $d=20$.

S4

Como cada triángulo es equilátero, sus lados miden igual. Por lo tanto, ir de A a B sobre las
montañas es igual al doble de la distancia horizontal, es decir, 28 kilómetros. Como la pregunta es
sobre la distancia de A a B ida y regreso sobre las montañas, entonces la respuesta es 56 kilómetros.

S5

Sean \(A\) el vértice del ángulo recto de la escuadra, \(B\) el punto de intersección de la circunferencia con el lado de la escuadra a los \(7\,cm\) y \(C\) el punto de intersección de la circunferencia con el otro lado de la escuadra a los \(11\,cm.\) Note que el triángulo \(ABC\) es rectángulo en \(A\) y está inscrito en la circunferencia, luego su hipotenusa \(\overline{BC}\) es diámetro de la circunferencia y por el Teorema de Pitágoras, se tiene que
\begin{align*}
BC^2&=7^2+11^2=170.
\end{align*}
Por otro lado, note que al inscribir un cuadrado en una circunferencia, su diagonal coincide con un diámetro de la circunferencia. Sean \(L\) y \(D\) las longitudes del lado y la diagonal de este cuadrado, respectivamente. Por el Teorema de Pitágoras, 
\begin{align*}
D^2&=L^2+L^2,\\
L^2&=\dfrac{D^2}{2}.
\end{align*} 
De lo anterior se tiene que \(D^2=170,\) por lo tanto el área del cuadrado inscrito es $$L^2=\dfrac{170}{2}=85\,cm^2.$$

S6

Los hombres pueden sentarse en las sillas pares o en las impares. Además pueden ordenarse entre ellos de \(5!=120\) maneras. Es decir que pueden sentarse de \(2\times 120 = 240\) maneras. Una vez sentados los hombres, las mujeres pueden sentarse de 13 maneras. Esto puede verse enumerando todas las maneras, o bien aplicando el principio de inclusiones y exclusiones. Así la respuesta es \(240\times 13 = 3120\).

S7

Cada una de las 4 rectas paralelas intersecta a cada una de las \(n-4\) rectas restantes, lo que da \(4(n-4)\) puntos de intersección. Además las \(n-4\) rectas no paralelas se intersectan entre sí en \(\binom{n-4}{2}\) puntos. Por lo tanto
\[ 4(n-4)+\frac{(n-4)(n-5)}{2} = 294, \]
de donde \(n^2-n-600=0\), cuya única raíz positiva es 25.

S8

Para que un número de cuatro dígitos, digamos \( n=abcd \), sea divisible por \( 9 \) se tiene que \( a+b+c+d=9k \). El menor valor que puede tomar \( 9k \) es \( 9 \) y el mayor \( 27 \). 
Una pequeña exploración muestra que las únicas posibilidades para obtener \( 9 \) son:

\begin{eqnarray}
9&=&1+1+2+5,\\
9&=&2+2+1+4
\end{eqnarray}

Lo anterior debido a que los dígitos \( a,b,c,d \not\in \lbrace0,3,6,9 \rbrace \)

Análogamente las posibilidades para obtener \(18\) son

\begin{eqnarray}
18&=&1+1+8+8,\\
18&=&2+2+7+7,\\
18&=&4+4+5+5,\\
18&=&2+4+4+8,\\
18&=&1+5+5+7,\\
18&=&1+2+7+8,\\
18&=&1+4+5+8,\\
18&=&2+4+5+7.
\end{eqnarray}

Por último las opciones para obtener \(27\) son

\begin{eqnarray}
27&=&4+7+8+8,\\
27&=&5+7+7+8
\end{eqnarray}

Observe que las ecuaciones \( (1),(2),(6),(7),(11) \) y \( (12) \) contienen un sólo dígito repetido y por cada ecuación de estas debemos permutar los dígitos tenemos así \( \frac{4!}{2!}=\frac{24}{2}=12 \). Por lo tanto, la cantidad de números \( abcd \) divisibles por 9 con dos dígitos iguales y la condición dada son \( 6\times 12=72 \).

Por otro lado, las ecuaciones \( (3),(4) \) y \( (5) \) muestran los números buscados usando solo dos dígitos, es decir, hay dos repeticiones y las posibles permutaciones en cada una de estas ecuaciones es \( \frac{4!}{2!2!}=\frac{24}{2\times 2}=6 \). Así que hay \(3 \times 6=18 \) números con las condiciones pedidas y que tienen dos dígitos repetidos.

Por último, las ecuaciones \( (8),(9) \) y \( (10) \) muestran los números buscados con todos los dígitos distintos de estos hay \( 4!=24 \) y por tanto hay un total \(3 \times 24=72\) números con las condiciones pedidas y que tienen dos dígitos repetidos.

Resumiendo el total de números de cuatro dígitos tal que ninguna de las cifras que lo componen son divisibles por \(3\) o son cero es \(72+18+72=162\).

S9

Primero observemos que las áreas de los triángulos $BCE$ y $AFD$ son la misma ya que tienen igual base y altura. Por lo tanto,
\begin{equation*}
A(\triangle AFD)=A(\triangle BCE)=\dfrac{\overline{BC}\times\overline{CD}}{2}=\dfrac{120}{2}=60 \ \text{cm}^2.
\end{equation*}
Por otro lado, dado que $\overline{AE}=\overline{ED}$ se tiene
\begin{equation*}
A(\triangle ABE)=A(\triangle ECD)=\dfrac{\overline{ED}\times\overline{DC}}{2}=\dfrac{\overline{AD}\times\overline{DC}}{4}=\dfrac{120}{4}=30 \ \text{cm}^2.
\end{equation*}
De esta manera se obtiene que
\begin{equation*}
A(\triangle AHE)=A(\triangle ABE)-A(\triangle ABH)=30-10=20 \ \text{cm}^2,
\end{equation*}
y así
\begin{equation*}
A(EHFG)=A(\triangle AFD)-A(\triangle AHE)-A(\triangle EGD)=60-20-12=28 \ \text{cm}^2.
\end{equation*}

S10

Tenemos que las parejas ordenadas donde se cumple este es

\(a=1\) y \(b=6 \Rightarrow(1,6)\)

\(a=6\) y \(b=1 \Rightarrow(6,1)\)

\(a=-1\) y \(b=-6 \Rightarrow(-1,-6)\)

\(a=-6\) y \(b=-1 \Rightarrow(-6,-1)\)

\(a=3\) y \(b=2 \Rightarrow(3,2)\)

\(a=2\) y \(b=3 \Rightarrow(2,3)\)

\(a=-3\) y \(b=-2 \Rightarrow(-3,-2)\)

\(a=-2\) y \(b=-3 \Rightarrow(-2,-3)\)

En consecuencia, el menor valor de la potencia \(a^b\) es

\(a^{b}=\left(-6\right)^{-1}=\frac{1}{\left(-6\right)^{1}}=-\frac{1}{6}\)

S11

Note que 
$$\underset{333\ unos}{\underbrace{111\dots 11}}=\underset{331\ unos}{\underbrace{111\dots 11}}05+{\bf 6}$$ 
y el número \(\underset{331\ unos}{\underbrace{111\dots 11}}05\) es múltiplo de \(15,\) ya que es múltiplo de \(5\) (pues termina en \(5\)), y es múltiplo de \(3\) (pues la suma de sus cifras es \(331+5=336\) que es múltiplo de \(3\)). Por lo tanto el residuo que se obtiene al dividir $\underset{333\ unos}{\underbrace{111\dots 11}}$ entre \(15\) es \(6.\)

S12

\(S(N+234)\) es igual a \(S(N) + S(234) - 9c\), donde \(c\) es el número de acarreos o llevadas realizadas al sumar \(N+234\). Luego \(S(N+234) = S(n)\) equivale a \(S(234) - 9c = 0\), es decir a \(c = 1\). Para obtener el mayor \(N\) posible de cuatro dígitos comenzamos por poner 9 en las unidades de 1000. Ahora no puede haber acarreo en las centenas pues habría un segundo acarreo en las unidades de 1000. Luego el dígito más grande posible en las centenas es 7. Ahora no puede haber acarreo en las decenas pues también los habría en las centenas y en las unidades de 1000. Entonces la única posibilidad de acarreo que nos queda es en las unidades, y ponemos 9 como dígito de las unidades. En las decenas el mayor dígito que podemos poner es 5, pues con 6 o más habría otro acarreo en las decenas. Luego el mayor \(N\) posible es 9759.