Solucionario COMATEQ 2024
Agradecemos a las universidades que contribuyeron enviando problemas al banco.
P2 (UIS)
Una sucesión Fibonacci se construye a partir de sus dos términos iniciales llamados ''semillas'', así, cada término, a partir del tercero, es la suma de los dos números inmediatamente anteriores. Con las semillas \(1\) y \(1\) se construye la sucesión Fibonacci cuyos primeros términos son:
\[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...\]
Mateo construyó su propia sucesión Fibonacci, pero luego borró algunos de los números, para retar a sus compañeros a adivinarlos, como se muestra en la siguiente imagen.
¿Cuál número debería ocupar el espacio con el signo de interrogación?
A Fibonacci sequence is constructed from its two initial terms called ''seeds'', thus, each term, starting from the third, is the sum of the two immediately preceding numbers. With the seeds \(1\) and \(1\) the Fibonacci sequence is constructed whose first terms are:
\[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...\]
Mateo built his own Fibonacci sequence, but then erased some of the numbers, to challenge his classmates to guess them, as shown in the following image.
Which number should occupy the space with the question mark?
P4 (UNIVALLE)
En la cuadrícula de tamaño \(10\times 10\) que se muestra, se dibuja un punto \(P\) en el interior del triángulo \(ABC\), el cual puede estar en cualquiera de los puntos de intersección de las líneas de la cuadrícula que están en el interior del triángulo. Para cada posible ubicación de \(P\), se forma un triángulo \(BPC\). ¿Cuántos de estos triángulos tienen área que es un divisor del área del triángulo \(ABC\)?
Nota: el interior del triángulo NO incluye los lados.
On the grid of size \(10\times 10\) shown, a point \(P\) is drawn inside the triangle \(ABC\), which can be at any of the intersection points of the grid lines that are in the interior of the triangle. For each possible location of \(P\), a triangle \(BPC\) is formed. How many of these triangles have an area that is a divisor of the area of triangle \(ABC\)?
Note: the interior of the triangle does NOT include the sides.
Solución P4
El triángulo \(ABC\) tiene área igual a \(\frac{10\times 10}{2}=50\). Por lo que buscamos triángulos de área \(1\), \(2\), \(5\), \(10\), \(25\) y \(50\). Analicemos cuáles de estos triángulos no son posibles.
El área de un triángulo con base \(BC\) será \(\frac{10\times h}{2}=5\times h\), donde \(h\) es la altura del triángulo. Esto quiere decir que estamos buscando triángulos cuyas áreas son múltiplos de \(5\). Lo que descarta los dos primeros (áreas de \(1\) y \(2\)). El triángulo de área \(50\) también queda descartado porque sería el mismo triángulo \(ABC\) y esto contradice el hecho de que el punto \(P\) es interior. Los demás casos sí son posibles porque:
- Si el área es \(5\), entonces \(h=1\), es decir, el triángulo tiene altura \(1\). Hay \(9\) de éstos.
- Si el área es \(10\), entonces \(h=2\), es decir, el triángulo tiene altura \(2\). Hay \(7\) de éstos.
- Si el área es \(25\), entonces \(h=5\), es decir, el triángulo tiene altura \(5\). Hay \(5\) de éstos.
Por lo tanto, el área de los triángulos con base \(BC\) de alturas \(1\), \(2\) y \(5\) es un divisor del área del triángulo \(ABC\). En total, hay \(21\) triángulos que satisfacen la condición. Las \(21\) posibles ubicaciones del punto \(P\) se muestran en la siguiente figura. En azul se ilustra un triángulo de altura \(5\), en verde uno de altura \(2\), y en rojo uno de altura \(1\).
P9 (UT)
Observe las cuatro imágenes formadas por figuras geométricas.
¿Qué valor tiene \(x\)?
Nota: NO incluya unidades en su respuesta. Escriba su respuesta usando sólo números.
Observe the four images made up of geometric figures:
What is the value of \(x\)?
Note: DO NOT include units in your answer. Write your answer using only numbers.
P10 (UDEA)
Una persona se encuentra en un punto \(A\) (ver figura) y en cada movimiento se puede mover a una posición adyacente a la derecha o a la izquierda de la posición en la que se encuentra actualmente. Si hace \(6\) movimientos, de todos las posibles rutas que parten de \(A\), ¿cuántas terminan en \(X\) o \(Y\)?
Nota: Escriba su respuesta usando sólo números.
A person is at a point \(A\) (see figure) and with each movement he can move to an adjacent position to the right or left of the position he is currently in. If you make \(6\) moves, of all the possible routes starting from \(A\), how many end in \(X\) or \(Y\)?
Note: Write your answer using only numbers.
Solución P10
Si se considera que estamos en el punto \(A\) y cada movimiento a la derecha es diagonal hacia arriba y cada movimiento a la izquierda es diagonal hacia abajo, todos lo posibles movimientos son:
Este proceso forma la fila 6 del triangulo de Pascal. Para llegar a las posiciones \(X\) y \(Y\) el número de casos es:
\[\binom{6}{2}+\binom{6}{4}=2\frac{6!}{2!4!}=30.\]
P11 (UNICAUCA)
Camilo tiene cuatro rectángulos idénticos de color azul y un cuadrado de color rojo. Con ellos construye un cuadrado de área \(81 \rm{cm}^2\) como se muestra en la figura.
Si la longitud de la diagonal de los rectángulos es de \(7\rm{cm}\), ¿cuál es el área (en \(\rm{cm}^2\)) del cuadrado rojo?
Nota: NO incluya unidades en su respuesta. Escriba su respuesta usando sólo números.
Camilo has four identical blue rectangles and one red square. With them he builds a square of area \(81 \rm{cm}^2\) as shown in the figure.
If the length of the diagonal of the rectangles is \(7\rm{cm}\), what is the area (in \(\rm{cm}^2\)) of the red square?
Note: DO NOT include units in your answer. Write your answer using only numbers.
Solución P11
Observemos que si trazamos las diagonales de los 4 rectángulos como se muestra en la figura, obtenemos un cuadrado de área \(49 \rm{cm}^2\).
Ahora como \(81-49=32\) entonces \(64 \rm{cm}^2\) sería el área de los cuatro rectángulos de color azul. Como \(81-64=17\), entonces el área del cuadrado rojo es de \(17 \rm{cm}^2\), o también \(49-32=17\).