Solucionario COMATEQ 2020

Solución

La distancia recorrida es $2m+4m+2m=8m$.

Solución

Nótese que si coloreamos los vértices del triángulo superior, inmediatamente la coloración de los demás vértices es única. Por lo tanto la respuesta es 6, puesto que son las maneras de colorear el triángulo superior.

Solución

Como $d+0=1$ entonces $d=1$, ahora $c+d=0 $ y como $d=1$ entonces $c=-1$, como $b+c=d, d=1$ y $c=-1$, entonces $b=2$, por último $a+b=c, b=2 $ y $c=-1$ entonces $ a=-3$.

Solución

Solución 1:

Como la tabla arriba indicada es un Cuadrado Mágico la suma de sus filas, columnas y diagonales son iguales. Es decir, suman \(34\). Luego tenemos que:

\[\begin{align*}h + 5 + 9 + 4 &=34\\ h &= 16\end{align*}\]

De igual forma \(g=2\) y tenemos la siguiente tabla:

De esta última tabla podemos ver que 

\[\begin{align*} b+1+11+16&=34 \\ b&=6 \end{align*}\]

Además,

\[\begin{align*} a&=34-22\\ a&=12 \end{align*}\]

 Resultando la tabla: 

Por último, usando la información en la última tabla tenemos el sistema de ecuaciones:

\[\begin{align*} c+d&=34-16\\  c+d&=18 \end{align*}\]

\[\begin{align*} e+f&=34-18\\ e+f&=16 \end{align*} \]

\[\begin{align*} c+e&=34-13\\ c+e&=21\end{align*}\]

\[\begin{align*} d+f&=34-21 \\ d+f&=13\end{align*}\]

\[\begin{align*} e+d&=34-11\\  e+d&=23 \end{align*}\]

De las ecuaciones \(d+e=23\) y \(e+f=16 \) tenemos

\[\begin{align*} d-f&=7 \end{align*}\]
De las ecuaciones \(d+f=13\) y \(d-f=7\), se tiene

\[\begin{align*} 2d&=20\\ d&=10\end{align*}\]

 De donde se obtiene que \(f=3\), \(c=8\) y \( e=13\).

Solución 2: 

Como la tabla es un Cuadrado Mágico, podemos utilizar el algoritmo para resolver un cuadrado mágico \(4\times 4\) de la siguiente manera.

Se ubican los números del del \(1\) al \(16\) en su orden en la tabla, como sigue:

Luego los números en las casillas en blanco se intercambian en parejas de la siguiente forma: \(2\) y \(15\); \(3\) y \(14\); \(5\) y \(12\) y \(8\) y \(9\). Obteniendo la tabla:

De donde se obtiene que $ a=12$, $ b=6$, $ c=8$, $ d=10$, $ e=13$, $ f=3$, $ g=2$ y $ h=16$.

Solución

Sea \(x\) la base y \(y\) la altura del rectángulo original. Entonces se tiene que
\[(*)\ \ \ \ \ \ x-6=y+4\]
\[(**)\ \ \ \ \ \ xy=(x-6)^{2}\]
De la ecuación \((*)\) se tiene que \(x=y+10,\) de modo que de la ecuación \((**)\) se obtiene \((y+10)y=(y+4)^{2},\) de donde se concluye que \(y=8\) y \(x=18.\) Área del rectángulo es \(8\times 18=144\ u^2.\)

Solución

Considere la siguiente figura en la que \(P\) es la intersección del segmentos \(\overline{ID}\)  y \(\overline{JF}\) 

Note que el segmento \(\overline{GF}\) es paralelo a la recta que contiene los puntos \(A\) y \(B\) , luego el ángulo \(\alpha\) es congruente con el ángulo \(GFJ\) por ser ángulos correspondientes entre paralelas. Sabemos que la medida de cada ángulo interno en un decágono regular es \(144°\), y teniendo en cuenta que al trazar todas la diagonales desde un vértice de un polígono regular con \(n\) lados, el ángulo interno del polígono correspondiente a este vértice queda dividido en \(n-2\) ángulos congruentes, se concluye que \(\measuredangle GFJ=\dfrac{144}{8}\times 3=54º\) . Por lo tanto \[\alpha=\measuredangle GFJ=54º.\]

Solución

$(25X)(5X)=500$,     $X^2=4$,   $X=  2.$

Solución

\begin{align*}
(4\circ 2)\star 3 &=(4-2)\star 3\\
& = 2\star 3\\
& = 3^2+3^4\\
& = 9+81\\
& = 90
\end{align*}

Solución

Notemos que los dígitos van creciendo, pues son la suma de los dos anteriores. Así que, para que un número tenga muchos dígitos se necesita que la suma de los dos primeros dígitos sea lo más pequeña posible. Esto se logra cuando el primer dígito es 1 y el segundo es 0 así el numero es
10112358 cuya suma de dígitos es $1+0+1+1+2+3+5+8=21$.

Observamos que la siguiente suma más pequeña para el tercer dígito es 2, los posibles números son $202246$ y $112358$. Así que si se hace que el tercer dígito sea más grande, la suma crece rápidamente y no hay ningún otro con 8 dígitos, por tanto es el más grande.

Solución

Solución 1: 

Los elementos de la sucesión que poseen más \(1\)'s que \(0\)'s son los que poseen de a cuatro, cinco o seis \(1\)'s. Luego

\[\begin{align*} \binom{6}{4} &= 15\longrightarrow \text{ Cantidad de elementos con cuatro } 1\text{'s} \\ \binom{6}{5} &= 6\longrightarrow \text{ Cantidad de elementos con cinco } 1\text{'s}\\ \binom{6}{6} &= 6\longrightarrow \text{ Cantidad de elementos con seis } 1\text{'s}\\ \end{align*} \]

Solución 2: 

La cantidad de elementos en total que tiene la sucesión es \(2^6=64\). Ahora, la cantidad de elementos que tienen igual número de \(1\)'s y \(0\)'s es \({{6}\choose{3}}=20\).

Por simetría la cantidad de elementos que poseen más \(1\)'s que \(0\)'s es la misma cantidad de elementos que poseen más \(0\)'s que \(1\)'s. Por tanto, el número de elementos que tienen más \(1\)'s que \(0\)'s:
\[\frac{2^6 - {{6}\choose{3}}}{2} = \frac{64-20}{2} = \frac{44}{2}=22\]

Solución

La clave tiene siete dígitos, enumeramos la posición de cada dígito así: